为什么有的幂函数没有奇偶性

所谓的幂函数就是形如y=x^a，其中x是变量，a是常数的函数。

所有的幂函数均过定点(1,1)。

证明：将x=1代入y=x^a中，无论a为何值时y均为1，所以所有的幂函数均过定点(1,1)。

例如：y=x,y=x^2,y=x^3,y=x^(1/2)等都过定点(1,1)。

幂函数的奇偶性

⑴当幂函数的幂指数a是奇数时，幂指数y=x^a是奇函数。

证明：设f(x)=x^a，x∈R

f(-x)=(-x)^a，因为a是奇数，所以(-x)^a=-x^a

所以f(-x)=-f(x)，所以幂函数y=x^a此时是奇函数。

⑵当幂函数的幂指数a是偶数时，幂函数y=x^a为偶函数。

证明：依然设f(x)=x^a，x∈R

f(-x)=(-x)^a，因为a是偶数，所以(-x)^a=x^a

所以f(-x)=f(x)，所以幂指数y=x^a此时是偶函数。

⑶当幂函数的幂指数a是分数且分母是奇数时，幂函数y=x^a是奇函数。

同理可证：设f(x)=x^a，x∈R

f(-x)=(-x)^a，因为a分母是奇数，所以(-x)^a=-x^a

所以f(-x)=-f(x)，所以幂函数y=x^a在a是分数且分母是奇数时是奇函数。

⑷当幂函数的幂指数a是分数且分母是偶数时，幂函数y=x^a是非奇非偶函数。

当幂指数为分数且分母是偶数时说明该幂指数要开偶次方根，所以x取值范围是(0,＋∞)，所以此时的幂函数的定义域并不关于原点对称，即幂函数y=x^a此时是非奇非偶函数。

幂函数的增减性

㈠幂函数的定义域在(0,+∞)上时，幂函数的增减性。

⑴当幂指数a>0时，幂函数y=x^a是增函数。

①当x∈(0,1)时，设0